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Dopo aver stabilito che il Sole � molto lontano, ci si chiese: la Luna ha la stessa grandezza, sar� alla stessa distanza?
Aristarco di Samo nel III sec. a.C. cerc� una risposta osservando la Luna in
fase di quadratura, cio� quando l'angolo Luna-Terra-Sole � di 90�. In questa
situazione la Luna � illuminata per met� ed il confine tra luce ed ombra (il terminatore) appare diritto.
Cominciamo col supporre che il Sole sia alla stessa distanza della Luna. In A
vediamo come la Luna sarebbe illuminata e in B e C come apparirebbe dalla Terra:
il terminatore � curvo.
Poich� appare diritto ne dedusse che il Sole deve essere molto pi� lontano e
che pertanto i suoi raggi arrivano praticamente paralleli sulla Terra e sulla
Luna.
Cerc� anche di stimare la sua distanza osservando che il terminatore deve
essere perfettamente diritto quando l'angolo Terra-Luna-Sole � di 90� e
l'angolo Luna-Terra-Sole � minore di 90�: questo avviene un po' prima della
quadratura.
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Aristarco trov� per l'angolo Luna-Terra-Sole un'ampiezza di
87�: poich� la somma degli angoli interni di un triangolo � sempre di 180�,
il terzo angolo sar� di 180-90-87 = 3�.
Conoscendo i tre angoli si pu� disegnare un triangolo simile sul quale si pu�
misurare il rapporto tra il lato Terra-Sole e il lato Terra-Luna; sulla base
delle misure effettuate calcol� la distanza del Sole 20 volte maggiore di
quella della Luna.
Oggi sappiamo che il rapporto � di 400 perch� quell'angolo � in realt� di
89,85�.
Il procedimento era giusto ma l'errore fu causato dalla difficolt� di
individuare il momento esatto e di misurare esattamente l'angolo col Sole.
Per misurare la grandezza della Luna e la sua distanza dalla Terra si pu� usare
un semplice metodo grafico osservando, durante un'eclisse di Luna, le dimensioni
relative della Luna e dell'ombra della Terra.
L'unica difficolt� � quella di disegnare in scala i due cerchi (Luna e ombra
terrestre) ma ci si pu� riuscire aiutandosi con una lastra trasparente e
completando il cerchio dell'ombra basandosi su quella parte che si proietta
sulla Luna.
Ma quanto � grande l'ombra della Terra sulla Luna? Se l'ombra non varia al
variare della distanza allora l'ombra della Terra
sulla Luna � grande come la Terra stessa.
Cos� possiamo disegnare i due corpi in proporzione ed abbiamo gi� le
dimensioni relative di Terra e Luna, che disegniamo, sempre in scala, su un
foglio abbastanza grande.
Ora dal centro della Terra tracciamo un angolo di mezzo grado (il diametro
angolare della Luna vista dalla Terra) e collochiamo il cerchio che rappresenta
la Luna in modo che sia compreso esattamente in quell'angolo: possiamo ora
conoscere la distanza Terra-Luna espressa in diametri terrestri.
E' quello usato nel 270 a.C. da Aristarco il quale, dopo aver misurato la durata
di un'eclisse di Luna calcol� la circonferenza dell'orbita lunare e quindi il
suo raggio, che � la distanza Terra-Luna.
Un'eclisse di Luna si verifica quando la Luna passa nell'ombra della Terra, in
posizione opposta al Sole (e quindi deve essere Luna piena).
Poniamo come prima che l'ombra della Terra sulla Luna sia uguale alla Terra
stessa e misuriamo quanto tempo impiega il centro della Luna ad attraversare il
diametro dell'ombra terrestre.
E' facile dedurre che il tempo che la Luna impiega a percorrere tutta la sua
orbita intorno alla Terra, diviso il tempo impiegato ad attraversare il diametro
dell'ombra terrestre ci dir� quante volte la lunghezza dell'orbita, cio� la
sua circonferenza, � maggiore del diametro terrestre.
Trovata la circonferenza dell'orbita lunare basta dividere per 2p per calcolare
il suo raggio, che � la distanza dalla Terra.
ESEMPIO DI CALCOLO COL TEMPO DI ECLISSE:
- il centro della Luna attraversa l'ombra della Terra (diametro) in 3 ore;
- il centro della Luna percorre la sua orbita in 30 giorni = 720 ore, per cui la
circonferenza dell'orbita � 720/3 = 240 diametri terrestri;
- il raggio dell'orbita (la distanza dalla Terra) sar� di 240/6,28 = circa 38
diametri terrestri.
In realt� i valori di tempo sono diversi per cui si arriva vicino ai 30
diametri terrestri.
Dopo le stime della distanza della Luna in diametri terrestri, bisognava
misurare la grandezza della Terra: ci riusc� Eratostene di Cirene (II-III sec.
a.C.) con due osservazioni del Sole da Siene (a sud di Assuan) e da Alessandria
d'Egitto.
A mezzogiorno del 21 giugno (solstizio d'estate) il Sole � allo Zenit a Siene
ma non ad Alessandria, che � pi� a Nord: ad Alessandria l'angolo che il Sole fa con la verticale risulta di 7,2�.
Posto che i raggi solari arrivano paralleli su tutta la Terra una facile geometria (rette parallele tagliate
da una trasversale) ci dice che 7,2� � anche la distanza angolare tra i due
luoghi sulla circonferenza terrestre.
Nota la distanza Siene-Alessandria (km 800, misurata a passi di cammello) la
Circonferenza terrestre = 800 : 7,2 x 360 = Km 40.000, da cui il diametro
terrestre di km 12.730.
Ma come faceva Eratostene a sapere quando era mezzogiorno? A mezzogiorno il Sole raggiunge la massima altezza della giornata e si trova esattamente a Sud. Piantando in terra un'asta verticale (usare il filo a piombo) e poi registrando in giorni diversi l'ombra pi� corta prodotta ogni giorno, si vede che tutti i segni indicano la stessa direzione: il Nord. Che il Sole sia allo Zenit si pu� rilevare dal fatto che si riflette sul fondo di un pozzo perfettamente verticale.
Nel 135 a.C. Ipparco di Nicea calcol� la distanza della Luna mediante
osservazioni contemporanee da due luoghi diversi, un po' come Eratostene per il
diametro della Terra ma non con lo stesso procedimento.
Infatti Eratostene "finse" che i raggi del Sole arrivassero paralleli su tutta
la Terra: erano "quasi" paralleli, causando un piccolo errore.
La Luna invece � molto pi� vicina del Sole (oggi sappiamo che la Luna dista 30 diametri terrestri e che il Sole � 400 volte
pi� lontano, cio� 12.000 diametri terrestri), per cui supponendo paralleli i suoi
raggi Ipparco avrebbe commesso un errore troppo grande.
Se facciamo una sfera di un metro la dobbiamo mettere alla distanza di 12 Km per
vederla come dal Sole si vedrebbe la Terra.
Per la Luna la dobbiamo mettere soltanto a 30 metri; la sfera sar� ben visibile
e se guardiamo il polo Nord dovremo spostare lo sguardo in basso per fissare il
polo Sud: i raggi che congiungono l'occhio alla sfera sono molto lontani
dall'essere paralleli.
Ipparco calcol� la distanza della Luna mediante osservazioni di un'eclisse
di Sole effettuate ad Alessandria d'Egitto e in Ellesponto (i Dardanelli). Mentre dall'Ellesponto l'eclisse era totale da Alessandria era soltanto
parziale: si pot� stimare che restasse scoperto 1/5 del diametro solare: 0,10�
pari a 6' d'arco.
Essendo nota la distanza tra l'Ellesponto e Alessandria (circa 1.100 km, vedi il
calcolo delle distanze terrestri) il triangolo Luna-Ellesponto-Alessandria � definito e la distanza della Luna si calcola in 384.000 Km.
A causa di inevitabili imprecisioni nelle misurazioni Ipparco ottenne per la
Luna un valore sovrastimato di appena il 7%.
Prov� anche a calcolare la distanza del Sole trovando per� che la distanza
doveva essere pari a 1.100 volte il raggio terrestre (in realt� � 23.500
volte) e concluse che il globo del Sole doveva essere almeno 5 volte pi� grande
della Terra, affermazione comunque rivoluzionaria se si tiene conto che al Sole
venivano attribuite le dimensioni del Peloponneso.
Ora sappiamo che il Sole � troppo lontano per poterne misurare la distanza con
questi metodi.
Dopo aver calcolato la distanza della Luna, che in cielo appare larga mezzo grado, si pu� calcolare il suo diametro in km, sempre facendo ricorso al triangolo.
