Równanie

Równanie – forma zdaniowa postaci $t_{1}=t_{2},$ gdzie $t_{1},t_{2}$ są termami i przynajmniej jeden z nich zawiera pewną zmienną. Równanie jest więc formułą atomową z co najmniej jedną zmienną wolną. Term po lewej stronie znaku równości nazywa się lewą stroną równania, a term po prawej – prawą stroną równania. Szczególnym przypadkiem równania jest forma, w której jeden z termów jest stałą np. $0,$ czyli gdy jest postaci $t_{1}=0.$

Zmienne równania oznacza się zwykle symbolami literowymi i nazywa niewiadomymi.

Przekształcanie równania

Jeżeli zmieniamy lewą stronę równania (lub równości) w taki sposób że zmienia ona swoją wartość, to by równanie pozostało prawdziwe, musimy identycznie przekształcic prawą stronę równania (i vice-versa), w przeciwnym razie otrzymamy sprzeczność.

Zacznijmy od przykładowej równości: $2+1=3$ $2+1=3$
- Możemy odjąć od lewej strony liczbę 1, ale musimy zrobić to również dla prawej strony aby zachować prawdziwość:
  $2+1\color {red}{}-1\color {black}{}=3\color {red}{}-1\color {black}{}$
  
  co po obliczeniach daje nam $2=2$
  
  gdybyśmy zmienimy tylko lewą stronę pomijajac prawą: $2+1\color {red}{}-1\color {black}{}=3$ po obliczeniach otrzymamy $2=3$ czyli sprzeczność ponieważ dwa jest różne od trzy tj. $2\neq 3$
- podobnie z mnożeniem (i innymi operacjami arytmetycznymi) - np. gdy mnożymy lewą stronę przez 4 to musimy też wymnożyć prawą tj. $(2+1)\color {red}{}\cdot 4\color {black}{}=3\color {red}{}\cdot 4\color {black}{}$ , co po obliczeniach daje nam $12=12$ ,
- oraz podobnie ze stosowaniem funkcji - również musimy stosować je do obydwu stron rówania np. jeśli chcemy obliczyć sinus z lewej strony to musimy zrobić to i z prawej: $\color {red}{}\sin(\color {black}{}2+1\color {red}{})\color {black}{}=\color {red}{}\sin \color {black}{}3$

Rówania - przykładowo
- $x+1=3$
  Możemy odjąć jedynkę od lewej (i prawej) strony co spowoduje otrzymanie jawnej wartości x tj. $x+1\color {red}{}-1\color {black}{}=3\color {red}{}-1\color {black}{}$ a po obliczeniach $x=2$
- $2x+1=3$
  odejmujemy jedynkę obustronnie: $2x+1\color {red}{}-1\color {black}{}=3\color {red}{}-1\color {black}{}$ otrzymując $2x=2$
  
  następnie mnożymy przez ${\frac {1}{2}}$ następująco: $\color {red}{}{\frac {1}{2}}\cdot \color {black}{}2x=\color {red}{}{\frac {1}{2}}\cdot \color {black}{}2$ otrzymując $x=1$ .

Operacje niedozwolone

Należy bardzo uważać by podczas przekształcania równania nie wykonać niedozwolonej operacji (np. dzielenie przez zero), gdyż zwykle prowadzi to do sprzeczności np. zaczynamy od równania (w którym zakładamy, że $a$ jest dowolną liczbą i $b$ jest taką samą liczbą)

a=b

Mnożymy obie strony przez

a

:

a^{2}=ab

Odejmujemy

b^{2}

od obu stron:

a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}

Rozkładamy na czynniki:

(a-b)(a+b)=b(a-b)

Dzielimy obie strony przez

(a-b)

- co jest niedozwoloną operacją, gdyż z pierwotnej postaci równania

a=b

po obustronnym odjęciu

b

wynika że

a-b=0

czyli dzieląc przez

a-b

defacto dzielimy przez zero - ale dla celów poglądowych kontynuujmy - zatem po podzieleniu mamy:

a+b=b

Ponieważ założyliśmy że $a$ i $b$ to dowolne takie same liczby, to przyjmijmy $a=b=1$ i po podstawieni do ostatniego rówania mamy: $1+1=1$ , po obliczeniach zatem $2=1$ - sprzeczność.

Operacje nieprzemienne

Należy zwrócić szczególną uwagę, gdy do przekształcania równania/równości stosujemy operacje nieprzemienne. W celu uniknięcia sprzeczności musimy po obydwu stronach równania zastosować je w identyczny sposób. Przykładowo iloczyn wektorowy w ogólności jest nieprzemienny tj. ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\neq {\vec {b}}\times {\vec {a}}$ tzn. zależy z której strony wektora go wykonamy (z lewej czy prawej). Weźmy dla przykładu równość wektorową

{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}

.

Jeżeli pomnożymy obie strony równania przez wektor $\color {red}{}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}$ (w celach poglądowych użyto czerwonego koloru), ale w różny sposób tzn. lewą stronę równości wymnożymy z lewej strony (lewostronnie), a prawą stronę równości ze strony prawej (prawostronnie), to otrzymamy równanie

\color {red}{}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}\times \color {black}{}\left({\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\color {red}{}\times {\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}\color {black}{}

.

Po dodaniu wektorów z lewej strony otrzymujemy równanie

\color {red}{}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}\times \color {black}{}{\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\color {red}{}\times {\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}\color {black}{}

,

które po dalszych obliczeniach prowadzi do ${\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\-1\end{bmatrix}}$ , co jest równaniem sprzecznym.

By równanie było niesprzeczne musimy obydwie jego strony wymnożyć w ten sam sposób np. lewostronnie:

\color {red}{}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}\times \color {black}{}\left({\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}\right)=\color {red}{}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}\times \color {black}{}{\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}

otrzymując po obliczeniach

{\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix}}

.

Nazewnictwo

Dziedzina równania to zbiór wszystkich wartości, które po podstawieniu pod niewiadome czynią z formuły zdanie logiczne.
Dany ciąg wartości spełnia równanie, jeśli po podstawieniu ich w miejsce niewiadomych otrzymamy zdanie logiczne prawdziwe. Ciąg tych wartości nazywa się rozwiązaniem równania^[1].
Rozwiązywaniem równania nazywa się proces wyznaczania jego wszystkich rozwiązań.
Równanie nazywa się:
- sprzecznym, jeśli nie ma rozwiązań^[2];
- oznaczonym, jeśli ma ono skończoną lub przeliczalną liczbę rozwiązań;
- nieoznaczonym, jeśli ma ich nieprzeliczalną liczbę;
- tożsamościowym lub tożsamością, jeśli dowolna wartość z dziedziny jest rozwiązaniem^[3].

Przypadkami szczególnymi równań są równania postaci $f(x)=0,$ gdzie $f$ jest dowolną funkcją. Wówczas pierwiastki tego równania z definicji są miejscami zerowymi tej funkcji. Jeżeli $f$ jest wielomianem, to twierdzenie Bézouta mówi, iż pierwiastek wielomianu jest zarazem miejscem zerowym, czyli rozwiązaniem odpowiedniego równania algebraicznego.

Przykłady

$x=x+1$

równanie sprzeczne – nigdy nie jest spełnione.

$1-\sin ^{2}x=\cos ^{2}x$

równanie tożsamościowe.

$\sin x=1$ dla $x\in \mathbb {R}$

równanie oznaczone o nieskończonej, ale przeliczalnej liczbie rozwiązań.

$a={\frac {2a+5}{a^{2}}}$ dla $a\in \mathbb {R}$

równanie oznaczone o jednym rozwiązaniu.

$\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=0$ dla $x\in \mathbb {R}$ gdzie $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)$ jest funkcją Dirichleta

równanie nieoznaczone.

$x+y=3$

równanie z dwiema niewiadomymi. Równanie to jest spełnione przez nieskończenie wiele par liczb, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań. Każde rozwiązanie dane jest regułą: $x$ dowolne, $y=3-x.$ Biorąc za $x$ dowolne liczby rzeczywiste i wyliczając $y$ z podanego wzoru, można otrzymać każde rozwiązanie badanego równania. Dla $x=2$ otrzymujemy $y=1;$ dla $x=-1$ mamy $y=4$ itd. Liczba rozwiązań równania jest nieprzeliczalna więc równanie jest nieoznaczone.

Poniższe wyrażenia nie zawierają niewiadomych, są więc jedynie równościami:

$2+3=5$

równość prawdziwa, tożsamościowa.

$2+3=6$

równość nieprawdziwa, sprzeczna.

Rodzaje

Równanie algebraiczne – każde równanie postaci $P(x)=0,$ gdzie $P$ jest wielomianem. W szczególności gdy $P$ jest stopnia drugiego jest to równanie kwadratowe, a gdy $P$ jest stopnia pierwszego jest to równanie liniowe.
Równanie diofantyczne – równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub naturalnych.
Równanie funkcyjne, np. równanie różniczkowe lub równanie całkowe.

Metody rozwiązywania

Przed rozwiązanie jakiegokolwiek równania należy je uporządkować, tzn. „ustawić” zmienne w porządku malejącym, czyli według malejącej potęgi. Ważne, aby w przypadku układów równań zachowywać kolejność zmiennych. Ułatwia to późniejsze rozwiązywanie. Na samym początku należy zastanowić się, czy dane równanie da się w jakiś sposób uprościć (Metoda równań równoważnych, np. zwinąć wzór, wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, pogrupować wyrazy). Warto na to poświęcić kilka chwil, gdyż może to oszczędzić konieczności żmudnego liczenia. Następnym etapem jest wybór sposobu rozwiązania. Co do samych sposobów rozwiązywania to, jeżeli nie udało się uprościć równania, trzeba się zdać na wzory i twierdzenia lub rozwiązać równanie geometrycznie, rysując odpowiednie wykresy. Przy tej okazji należy badać dziedzinę równania, aby przy ostatecznym rozwiązaniu uniknąć wyników nie należących do zbioru argumentów. Można to zrobić na dwa sposoby:

wypisywanie założeń przy każdym przekształceniu (np. podnoszenie do kwadratu, dzielenie przez zmienną),
sprawdzenie wszystkich otrzymanych wyników przez podstawienie (tzw. Metoda analizy starożytnych).

Jest kilka metod rozwiązywania układów równań. Można stosować tylko jedną albo wszystkie naraz – panuje tu pełna dowolność. Sposoby rozwiązywania układów równań:

przez podstawianie (trzeba z jednego równania wyznaczyć jedną zmienną, wstawić ją do drugiego równania i ewentualnie powtarzać te operacje, aż do otrzymania jednego równania z jedną niewiadomą),
przeciwnych współczynników (ustalanie współczynników tak, aby po dodaniu stronami niektóre zmienne się skróciły),
wzory Cramera,
metoda Gaussa.

Zobacz też

nierówność
równania równoważne
równość
układ równań
Występowanie tekstu „równanie” w tytułach artykułów i w przekierowaniach
Artykuły i przekierowania do artykułów zaczynające się od „równanie”

Przypisy

↑ równanie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2026-02-06] .
↑ równanie sprzeczne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2026-02-06] .
↑ tożsamość, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2026-02-06] .

Bibliografia

Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, s. 97. ISBN 83-7469-189-1.

[epwn-1] równanie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2026-02-06] .

[2] równanie sprzeczne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2026-02-06] .

[3] tożsamość, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2026-02-06] .

[1]

[2]

[3]