Espai euclidià

Es pot ubicar un punt en l'espai euclidià tridimensional mitjançant tres coordenades.

Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma és heretada d'un producte escalar. En un espai euclidià, se satisfan els axiomes d'Euclides de la geometria. La recta real, el pla euclidià i l'espai tridimensional de la geometria euclidiana són casos particular d'espais euclidians de dimensions 1, 2 i 3 respectivament. El concepte com a conjunt $\mathbb {R} ^{n}$ és el conjunt de n-tuples ordenades de nombres reals, és a dir:

$\mathbb {R} ^{n}=\{(x_{1},x_{2},\;\ldots \;x_{n})\;|\ x_{i}\in \mathbb {R} \;,i=1,2\;\ldots \;,n\}$

Donats dos elements $x,y\in \mathbb {R}$ es pot dir que $x=y$ si i només si $x_{i}=y_{i}$ per tot $i\in \{1,2,\dots n\}$.

Sovint es defineix els elements de $\mathbb {R} ^{n}$ com vectors, i amb les operacions habituals de suma i producte d'un vector per un escalar, $\mathbb {R} ^{n}$ és un espai vectorial.

Un espai euclidià és un espai vectorial complet dotat d'un producte intern, cosa que el converteix, a més, en un espai afí, en un espai mètric i en una varietat riemanniana alhora.

El terme euclidià s'utilitza per distingir aquests espais dels espais "corbs", de les geometries no euclidianes i de l'espai de la teoria de la relativitat d'Einstein. Per tal de ressaltar el fet que un espai euclidià pot tenir n dimensions, se sol parlar d'"espai euclidià n-dimensional" (denotat $\mathbb {R} ^{n},R^{n}$, o fins i tot $\mathbb {E} ^{n}$).

Els antics geòmetres grecs van introduir l'espai euclidià per tal de modelar l'espai físic. La seva obra va ser recollida pel matemàtic grec antic Euclides en els seus Elements amb la gran innovació de demostrar totes les propietats de l'espai amb teoremes, partint d'utilitzar algunes poques propietats fonaments, anomenades axiomes o postulats, que o bé es consideraven evidents (per exemple, el fet que existeix exactament una línia recta que passa per dos punts), o bé semblaven impossibles de demostrar (postulat de les paral·leles).

D'ençà de la introducció a finals del Segle XIX de les geometries no euclidianes, els antics postulats es van formalitzar novament per definir els espais euclidiants mitjançant la teoria axiomàtica. S'ha demostrat que aquesta definició axiomàtica és equivalent a una altra definició dels espais euclidians, que introdueix els conceptes d'espai vectorial i àlgebra lineal. És aquesta última definició la que s'utilitza habitualment en les matemàtiques modernes i la que es detalla en aquest article. En totes les definicions, els espais euclidians estan formats per punts, que es defineixen només per les propietats que han de tenir per formar un espai euclidià.

Essenecialment, només hi ha un espai euclidià per a cada dimensió; és a dir, tots els espais euclidians d'una dimensió donada són isomorfs. Per tant, en molts casos, és possible treballar amb un espai euclidià concret, que generalment és l'espai real$\mathbb {R} ^{n},$ dotat del producte escalar. Un isomorfisme d'un espai euclidià a $\mathbb {R} ^{n}$ associa a cada punt una n-tupla de nombres reals que localitzen tal punt en l'espai euclidià i reben el nom de les coordenades cartesianes del punt.

Primera aproximació

L'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides. Històricament, l'espai euclidià consta només de l'espai físic de 2 o 3 dimensions: el pla o l'espai, en el qual estan definits el punts. Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. Són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle xix.

En el segle xix, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. És en aquest moment quan es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.

Definicions matemàtiques

Espai vectorial euclidià

Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre $\mathbb {R}$, de dimensió finita n i dotat d'un producte escalar.

En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle (u_{1},u_{2},...,u_{n}),(v_{1},v_{2},...,u_{n})\rangle =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+...+u_{n}v_{n}$.

Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:

$\lVert \mathbf {u} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}$,

i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric entre dos vectors u, v no nuls, és un valor real $\theta$ comprès entre 0 i π, tal que:

$\cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\lVert \mathbf {u} \rVert \cdot \lVert \mathbf {v} \rVert }}$

Espai afí euclidià

Un espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.

S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

Exemples d'espai vectorial euclidià

• L'espai $\mathbb {R} ^{n}$, amb el producte escalar euclidià:

$\langle (x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n})\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n},$

és un espai vectorial euclidià de dimensió n.

• L'espai vectorial dels polinomis de grau igual o inferior a n:
  • amb el producte escalar euclidià:

$\left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=o}^{n}b_{i}Y^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}$

és un espai euclidià de dimensió $n+1$.

• • amb el producte escalar:

$\langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t)Q(t)dt$

és també un espai euclidià amb una norma diferent.

Història de la definició

L'espai euclidià va ser introduït pels antics matemàtics grecs com una abstracció de l'espai físic. La seva gran innovació, que va aparèixer en els Elements d'Euclides va ser construir i demostrar tota la geometria partint d'unes poques propietats molt bàsiques, que s'abstreien del món físic i que no poden demostrar-se matemàticament per falta d'eines més bàsiques. Aquestes propietats es denominen postulats o axiomes en llenguatge modern. Aquesta manera de definir l'espai euclidià segueix utilitzant-se amb el nom de geometria sintètica.

L'any 1637, René Descartes va introduir les coordenades cartesianes i va demostrar que permeten reduir els problemes geomètrics a càlculs algebraics amb nombres. Aquesta reducció de la geometria a l'àlgebra va suposar un important canvi de punt de vista ja que, fins llavors, els nombres reals es definien en termes de longituds i distàncies.

La geometria euclidiana no es va aplicar en espais de dimensió superior a tres fins al segle XIX. Ludwig Schläfli va generalitzar la geometria euclidiana a espais de dimensió n, utilitzant mètodes sintètics i algebraics, i va descobrir polítops regulars (anàlegs de dimensió superior dels sòlids platònics) que existeixen en els espais euclidians de qualsevol dimensió.

Malgrat l'ampli ús de l'enfocament de Descartes, que va rebre el nom de geometria analítica, la definició de l'espai euclidià va romandre inalterada fins a finals del segle XIX. La introducció d'espais vectorials abstractes va permetre utilitzar-los per definir els espais euclidians amb una definició purament algebraica. S'ha demostrat que aquesta nova definició és equivalent a la definició clàssica en termes d'axiomes geomètrics. És aquesta definició algebraica la que avui en dia s'utilitza més sovint per introduir els espais euclidians.

Propietats dels espais euclidians

• En tot espai euclidià, es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si $(u_{1},u_{2},...,u_{n})\,$ és una base de $\mathbf {E}$, existeix una base $(v_{1},v_{2},...,v_{n})\,$ ortonormal, tal que per a tot $k$ entre 1 i n, es compleix que:

$\langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle =\langle v_{1},v_{2},...,v_{k}\rangle \,$,

en què s'entén per $\langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle \,$ la varietat lineal engendrada per aquells $k$ elements de la base.

• Tot espai vectorial euclidià de dimensió $n$ és isomorf a $\mathbb {R} ^{n}$.

• Tot espai vectorial euclidià és complet. És, per tant, un cas particular d'espai de Banach.

• Dos vectors amb producte escalar nul es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial $\mathbf {F}$ d'un espai euclidià $\mathbf {E}$ es pot associar un únic subespai $\mathbf {F} ^{\bot }$ format per tots els vectors ortogonals a tots els vectors de $\mathbf {F}$, que és el seu ortogonal.

• Si $x\,$ és un vector de $\mathbf {E}$, l'aplicació producte escalar per $x\,$,$s_{x}:y\mapsto <x,y>$ és una forma lineal. L'aplicació que associa $x\,$ a $s_{x}\,$ és un isomorfisme de l'espai vectorial $\mathbf {E}$ en el seu dual $\mathbf {E} ^{*}$.

• Si $f\,$ és un endomorfisme de $\mathbf {E}$, existeix un únic endomorfisme, que s'escriurà per $f^{*}\,$ i anomenat adjunt de $f\,$, tal que:

$\forall x,y\in \mathbf {E} ,<f(x),y>=<x,f^{*}(y)>$

Es defineix les nocions d'endomorfisme simètric si $f=f^{*}\,$, i endomorfisme antisimètric si $f=-f^{*}\,$.

En una base ortonormal, la matriu de $f^{*}\,$ és la transposada de $u\,$.

Estructures sobre l'espai euclidià

Els espais euclidians i les seves propietats han servit com a base per generar una gran quantitat de conceptes matemàtics relacionats amb la geometria analítica, la topologia, l'àlgebra i el càlcul. Tot i que l'espai euclidià sol ser introduït, per raons didàctiques, com a espai vectorial, en realitat sobre ell es poden definir moltes més estructures. L'espai euclidià, a més de ser un espai vectorial, és també:

• Un espai de Hilbert de dimensió finita, amb el producte escalar ordinari.
• Un espai de Banach de dimensió finita, amb norma induïda pel producte escalar interior.
• Un espai mètric complet, amb distància induïda per la norma anterior.
• Un espai topològic, induït per la mètrica euclidiana.
• Una varietat riemanniana, amb la mètric euclidiana.
• Un espai afí, on l'espai vectorial associat és $\mathbb {R} ^{n}$
• Un grup de Lie, amb l'operació de suma.
• Una àlgebra de Lie amb el producte vectorial (només en el cas tridimensional).

L'espai euclidià com a espai mètric

Per definició, $\mathbb {R} ^{n}$ és un espai mètric, i és per tant també un espai topològic; és l'exemple prototípic d'una n-varietat, i és de fet una n-varietat diferenciable. Per a n ≠ 4, qualsevol n-varietat diferenciable que sigui homeomorfa a $\mathbb {R} ^{n}$ és també difeomorfa a ella. El fet sorprenent que això no sigui cert també per a n = 4 va ser demostrat per Simon Donaldson l'any 1982; aquest famós contraexemple rep el nom de 4-espais exòtics (o falsos).

Atès que l'espai euclidià $\mathbb {R} ^{n}$ és en si mateix una varietat diferenciable, en cada punt es pot definir un espai tangent (que és un espai vectorial de dimensió n), i pot aprofitar-se l'estructura euclidiana per definir una mètrica sobre el fibrat tangent, la qual cosa li dona una estructura de varietat riemanniana, això permet definir àrees, volums i n-volums per subconjunts diferenciables de tal espai.

L'espai euclidià com a espai topològic

Moltes coses es poden dir sobre la topologia de $\mathbb {R} ^{n}$. Un resultat important, la invariància del domini de Brouwer fa referència al fet que qualsevol subconjunt de $\mathbb {R} ^{n}$ que sigui homeomorf a un subconjunt obert de $\mathbb {R} ^{n}$ és en si mateix obert. Com a conseqüència immediata d'això, s'obté que $\mathbb {R} ^{m}$ no és homeomorf a $\mathbb {R} ^{n}$ si $m\neq n$, un resultat intuïtivament trivial que no obstant això no és fàcil de demostrar altrament.

L'espai euclidià com a espai vectorial

Article principal: Vector (espai euclidià)

També es pot considerar el n-espai euclidià com un espai vectorial n-dimensional real, de fet, un espai de Hilbert, de forma natural. El producte escalar, de x = (x₁,...,x_n) i y = (y₁,...,y_n) ve donat per:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$

Espai euclidià de dimensió infinita

Els espais euclidians considerats normalment tenen una dimensió topològica finita. Això fa que siguin localment compactes. No obstant això, es poden concebre estructures de dimensió infinita que tinguin propietats anàlogues als espais euclidians, per la qual cosa l'extensió a dimensió infinita de la noció d'espai euclidià és possible amb unes quantes precaucions. En primer lloc, es pot considerar el conjunt $\mathbb {R} ^{\omega }$ definit com:

$\mathbb {R} ^{\omega }=\{(x_{1},x_{2},\dots )|\forall i:x_{i}\in \mathbb {R} \}$

És a dir, aquest conjunt és el producte cartesià d'un nombre infinit numerable de còpies de $\mathbb {R}$. Això no obstant, el conjunt de totes aquestes tuples infinites no té l'estructura d'espai euclidià perquè no es pot dota d'una norma euclidiana adequada. Per exemples, les tuples:

$\mathbf {x} =(1,1,1,\dots ),{\text{ ó }}\mathbf {y} =(1,2,3,4,\dots )$

no representen vectors la suma de llurs components al quadrat sigui un nombre real finit. És per això que es considera el subconjunt:

$E_{\infty }=\{(x_{1},x_{2},\dots )|\forall i:x_{i}\in \mathbb {R} ,\ \lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}<\infty \}\varsubsetneq \mathbb {R} ^{\omega }$

Aquest espai vectorial $E_{\infty }$ comparteix la majoria de les propietats dels espais euclidians de dimensió finita i per tant pot considerar-se un espai euclidià de dimensió infinita. La principal característica de $E_{\infty }$ és que l'espai euclidià de dimensió infinita, a diferència de les seves versions de dimensió finita, no és un espai localment compacte.

Bibliografia

• Ball, W.W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics. 4th. Dover Publications, 1960. ISBN 0-486-20630-0. 
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Coxeter, H.S.M.. Regular Polytopes. 3rd. New York: Dover, 1973. «"Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions."»