Variabile casuale

In matematica, e in particolare nella teoria della probabilità, una variabile casuale (detta anche variabile aleatoria o variabile stocastica) è una formalizzazione matematica di una quantità o di un oggetto che dipende da eventi casuali.

Il termine, tuttavia, non deve confondere. Non si tratta né di una variabile né di un insieme casuale di elementi, bensì di una funzione matematica con caratteristiche proprie:

il dominio è l'insieme dei possibili esiti in uno spazio campionario (ad esempio l'insieme $\{T,C\}$ , ovvero le possibili facce rivolte verso l'alto di una moneta lanciata, testa $T$ o croce $C$ , come risultato del lancio di una moneta).
il codominio è uno spazio misurabile (seguendo l'esempio precedente, il codominio potrebbe essere l'insieme $\{-1,1\}$ se, supponiamo, testa $T$ fosse associata a $-1$ e croce $C$ fosse associata a $1$ ). Tipicamente, il codominio di una variabile casuale è un sottoinsieme dei numeri reali.

Il grafico mostra come una variabile casuale sia una funzione da tutti i possibili esiti a valori reali. Mostra inoltre come una variabile casuale venga utilizzata per definire le funzioni di massa di probabilità.

Il termine «aleatorio» deriva dal latino alea (gioco di dadi^[1]) ed esprime il concetto di rischio calcolato. La denominazione alternativa stocastico è stata introdotta da Bruno de Finetti^[2]. Il termine «casuale» deriva dal latino casualis.

Nel linguaggio matematico formale della teoria della misura, una variabile casuale è definita come una funzione misurabile da uno spazio con misura di probabilità (chiamato spazio campionario) a uno spazio misurabile. Questo permette di considerare la misura immagine (o pushforward), che prende il nome di distribuzione di variabile casuale; la distribuzione è quindi una misura di probabilità sull'insieme di tutti i possibili valori della variabile casuale. È possibile che due variabili casuali abbiano distribuzioni identiche ma differiscano in modo significativo; per esempio, potrebbero essere indipendenti tra loro.

Storia

Ancorché non formalizzato, il concetto della distribuzione statistica attorno ad una media era noto fin dall'antichità. Leggiamo infatti nel Fedone di Platone:

««E non è ingiusto, questo? Non è forse vero che chi si comporta così, evidentemente vive tra gli uomini senza averne nessuna esperienza? Se, infatti, li conoscesse appena, saprebbe che son pochi quelli veramente buoni o completamente malvagi e che per la maggior parte, invece, sono dei mediocri.»

«In che senso?» feci.
«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi. Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un cane o un altro essere qualunque molto grande o molto piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero? Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti, anzi numerosi?»»

Definizione

Più formalmente, dato uno spazio di probabilità $(\Omega ,{\mathcal {F}},\nu )$ (dove ${\Omega }$ è un insieme detto spazio campionario o insieme degli eventi, ${\mathcal {F}}$ è una sigma-algebra su ${\Omega }$ e $\nu$ è una misura di probabilità) e dato uno spazio misurabile $(E,{\mathcal {E}})$ , una $(E,{\mathcal {E}})$ -variabile aleatoria è una funzione misurabile $X\colon \Omega \to E$ dallo spazio campionario ad $E$ .

In questa definizione si intende che una funzione $X$ è misurabile se per ogni $A\in {\mathcal {E}}$ si ha che $X^{-1}(A)\in {\mathcal {F}}$ . Questa definizione di misurabilità è una generalizzazione di quella definita da Lindgren (1976): una funzione $X$ definita sullo spazio campionario ${\Omega }$ si dice misurabile rispetto al campo di Borel ${\mathcal {B}}$ se e solo se l'evento $\{\omega \in \Omega :X(\omega )\leq \lambda \}$ appartiene a ${\mathcal {B}}$ per ogni $\lambda$ .

Se $E$ è uno spazio topologico e ${\mathcal {E}}$ è la sigma-algebra di Borel allora $X$ è detta anche $E$ -variabile aleatoria. Inoltre se $E=\mathbb {R} ^{n}$ allora $X$ è detta semplicemente variabile aleatoria.

In altre parole una variabile aleatoria $X$ è un modo per indurre una misura di probabilità sullo spazio misurabile di arrivo $E$ a partire dalla misura di probabilità definita sull'insieme degli eventi $\Omega$ .

Le variabili casuali a una dimensione (cioè a valori in $\mathbb {R}$ ) si dicono semplici o univariate.
Le variabili casuali a più dimensioni si dicono multiple o multivariate (doppie, triple, $k$ -uple).
Le variabili casuali a valori matriciali si dicono matrici aleatorie.

Variabili casuali che dipendono da un parametro $t$ (dove $t$ sta solitamente per "tempo") vengono considerate processi stocastici.

Esempio

Riportiamo un esempio nell'ambito della probabilità discreta. Immaginiamo di effettuare tre esperimenti distinti, come il lancio successivo di tre monete. Lo spazio campionario risultante di cardinalità $2^{3}$ è composto da tutte le possibili terne di facce ottenibili.

Fanno parte di questo insieme:

(C,C,C)

;

(C,C,T)

;

(C,T,C)

;

(C,T,T)

;

(T,C,C)

;

(T,C,T)

;

(T,T,C)

;

(T,T,T).

Una possibile variabile casuale potrebbe associare a ciascuna terna il numero di croci che essa contiene. Pertanto la variabile casuale in questo esempio ha per dominio l'insieme di tutte le terne (ossia l'intero spazio campionario) e per codominio l'insieme misurabile $\{0,1,2,3\}$ .

Essa è la funzione che associa

(C,C,C)\mapsto 3,

(C,C,T);(C,T,C);(T,C,C)\mapsto 2,

(T,T,C);(T,C,T);(C,T,T)\mapsto 1,

(T,T,T)\mapsto 0.

Possiamo poi applicare una funzione di massa di probabilità a ciascun valore del codominio di questa variabile casuale. La probabilità di ottenere $n$ croci con tre lanci equivale alla cardinalità della contrimmagine di $n$ attraverso la variabile casuale diviso la cardinalità dello spazio campionario di partenza:

P(3)={\frac {1}{8}};

P(2)={\frac {3}{8}};

P(1)={\frac {3}{8}};

P(0)={\frac {1}{8}}.

Distribuzione di probabilità

La misura di probabilità indotta sullo spazio misurabile di arrivo $(E,{\mathcal {E}})$ da una variabile aleatoria $X$ , a partire dalla misura di probabilità $\nu$ su $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ , è detta la distribuzione, o legge, di probabilità, di $X$ , è indicata con $P_{X}$ ed è definita nel seguente modo

P_{X}(A):=\nu (X^{-1}(A)),

per ogni $A\in {\mathcal {E}}$ . Essa è ben definita proprio perché $X^{-1}(A)\in {\mathcal {F}}$ per ogni $A\in {\mathcal {E}}$ . Quando la variabile aleatoria è chiara dal contesto spesso si omette il pedice $X$ . Per brevità, invece di scrivere $\nu (X^{-1}(A))$ o $\nu (\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})$ spesso si usa la notazione

P_{X}(A)=P(X\in A).

Per variabili aleatorie a valori reali, la legge di probabilità della variabile casuale $X$ è chiamata funzione di ripartizione ed è definita come $F(x)=P(X\leq \ x)$ .

In generale le distribuzioni di probabilità sono divise in due classi:

se la variabile casuale $X$ è discreta, cioè l'insieme dei possibili valori (il rango o immagine di $X$ ) è finito o numerabile, la distribuzione di probabilità è una distribuzione discreta ed è chiamata funzione di massa (o funzione massa di probabilità o densità discreta):

p(x)=P(X=x);

se la variabile casuale $X$ è continua, cioè l'insieme dei possibili valori ha la potenza del continuo, la distribuzione di probabilità è una distribuzione continua ed è definita come:

P(X\in A)=\int _{A}f(x)dx,

dove

f

è una funzione non negativa chiamata funzione di densità di probabilità.

Descrivere un fenomeno aleatorio, cioè un fenomeno che sia caratterizzabile da una variabile aleatoria, vuol dire descriverlo in termini di distribuzione di probabilità e dei suoi parametri, come il valore atteso e la varianza.

Alcune variabili casuali utilizzate in statistica

Le variabili casuali si dividono principalmente in due grandi classi, discrete e continue (o assolutamente continue): Esempi del primo tipo:

variabile casuale uniforme discreta
variabile casuale bernoulliana, caso particolare della Binomiale
variabile casuale binomiale
variabile casuale poissoniana detta pure "legge degli eventi rari"
variabile casuale geometrica, caso particolare della distribuzione di Pascal
variabile casuale ipergeometrica
variabile casuale degenere

Esempi del secondo tipo:

variabile casuale normale o gaussiana
variabile casuale Gamma o Erlanghiana
variabile casuale t di Student
variabile casuale di Fisher-Snedecor
variabile casuale esponenziale negativa, caso particolare della v.c. Gamma
variabile casuale Chi Quadrato χ², caso particolare della v.c. Gamma
variabile casuale Beta
variabile casuale rettangolare o uniforme continua
variabile casuale di Cauchy

Tali classi non sono però esaustive della famiglia delle variabili casuali; esiste anche una terza classe, delle variabili casuali singolari o continue singolari, come la variabile casuale di Cantor.

Il teorema di rappresentazione di Lebesgue ci assicura che ogni funzione di ripartizione (e dunque ogni variabile casuale) è rappresentabile come combinazione convessa di una funzione di ripartizione discreta, una continua e una singolare. Variabili casuali che non appartengono a nessuna delle tre classi vengono dette miste.

Si può comunque dimostrare che le classi delle variabili casuali discrete e delle variabili casuali continue sono dense nella classe di tutte le variabili casuali rispetto alla convergenza in distribuzione, cioè per ogni variabile casuale esiste una successione di v.c. discrete (rispettivamente continue) che converge in distribuzione alla variabile data.

Note

↑ Definizione di Aleatorio, su treccani.it. URL consultato il 9 febbraio 2015.
↑ DELI, Dizionario etimologico della lingua italiana, Zanichelli, 2009.

Bibliografia

Remo Cacciafesta, Lezioni di calcolo delle probabilità, Roma, Veschi, 1983.
Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Bologna, Zanichelli, 2003.
(EN) Bert Lawrence Fristedt Gray, A modern approach to probability theory, Boston, Birkhäuser, 1996, ISBN 3-7643-3807-5.
(EN) Olav Kallenberg, Random Measures, 4ª ed., Berlin, Akademie Verlag, 1986, ISBN 0-12-394960-2, MR MR0854102.
(EN) Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, 2ª ed., Berlin, Springer Verlag, 2001, ISBN 0-387-95313-2.
(EN) Athanasios Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 9ª ed., Tokyo, McGraw–Hill, 1965, ISBN 0-07-119981-0.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Variabile aleatoria, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

Variabile casuale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

Samantha Leorato, Variabile aleatoria, in Dizionario di Economia e Finanza, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2012.

(EN) random variable, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Eric W. Weisstein, Random Variable, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] Definizione di Aleatorio, su treccani.it. URL consultato il 9 febbraio 2015.

[2] DELI, Dizionario etimologico della lingua italiana, Zanichelli, 2009.

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