Estereoradian

estereoradian o estereoradiant

Representació gràfica d'1 esteroradian. L'esfera té radi r, i en aquest cas l'àrea A del tros de superfície destacat és r2. L'angle sòlid Ω equival a A sr/r2, que és 1 sr en aquest exemple. L'esfera sencera té un angle sòlid de 4πsr.
Tipus	unitat auxiliar, unitat derivada del SI amb nom especial, unitat derivada en UCUM i unitat d'angle sòlid
Sistema d'unitats	Unitat derivada del SI
Unitat de	Angle sòlid
Símbol	sr
Conversions d'unitats
A unitats del SI	1 sr
Fórmula	${\text{angle in steradians}}={\frac {\text{spherical area}}{r^{2}}}$

L'estereoradian (també escrit estereoradiant) (símbol: $sr$) és la unitat adimensional de mesura d'angle sòlid en el Sistema Internacional d'Unitats (SI) definit com l'angle sòlid que, amb el vèrtex situat al centre d'una esfera de radi $r$, delimita sobre la superfície esfèrica una àrea de valor igual al radi de l'esfera al quadrat $r^{2}$. S'utilitza per a descriure mesures angulars en un espai tridimensional, de manera anàloga a com el radian descriu angles en el pla euclidià.

El Sol i la Lluna es veuen des de la Terra sota un angle sòlid d'uns 6 × 10^–5 sr o 0,06 msr, malgrat l'enorme diferència de volum dels dos astres. Tanmateix, la diferent distància que ens separa d'ells fa que cobreixen quasi la mateixa superfície en observar-los a l'esfera celeste i permeti observar eclipsis de Sol.

L'estereoradian és una unitat derivada del SI i n'és l'única adimensional, juntament amb el radian. És l'equivalent tridimensional del radian. El nom «estereoradian» està format per la paraula grega στέρεος steréos ‘sòlid’ més «radian». El mot «radian» prové de l'anglès radian, que és un acrònim de radial angle, creat a la segona meitat del segle xix pels científics britànics Thomas Muir (1844-1934), Alexander John Ellis (1814-1890) i, independentment, per l'enginyer James Thomson (1822-1892), el germà gran de William Thomson, Lord Kelvin (1824-1907). El mot «steradian» ‘estereoradian’ fou introduit com unitat de mesura el 1881, per analogia amb el radian, pel matemàtic estatunidenc George Bruce Halsted (1853-1922) al seu llibre Metrical geometry. An elementary treatise on mensuration, i fou divulgat per William Thomson, Lord Kelvin, a la novena edició de l'Encyclopædia Britannica (1870-1890) a l'article Mensuration ‘Mesura’ sense citar l'autor.

La Lluna es veu des de la Terra sota un angle sòlid d'un 60 μsr.

Una esfera subtendeix un angle sòlid de $4\pi$ estereoradians (12,57 sr) perquè la superfície d'una esfera és $4\pi r^{2}$ i cada $r^{2}$ de superfície és un estereoradian. Per tant, si hi ha $4\pi$ estereoradians en una esfera, un estereoradian equival a $1/4\pi$, aproximadament 0,079 577 5 d'una esfera. Contràriament al radian, l'estereoradiant no és periòdic i està limitat a un valor màxim absolut que són els $4\pi$ estereoradians.

Per raons històriques i de convenció, els angles plans i sòlids es tracten dins del Sl com a magnituds amb la unitat 1. Els símbols rad i sr s'escriuen explícitament on s'escriu, per tal d'emfatitzar que, per a radians o estereoradians, la magnitud que es considera és, o implica, l'angle pla o l'angle sòlid respectivament. Per als estereoradians, emfatitza la distinció entre unitats de flux i intensitat en radiometria i fotometria. Cal destacar que en matemàtiques i algunes àrees de la ciència s'ometen el rad i el sr.

L'estereoradian apareix en les definicions d'altres unitats del SI, o forma part de les seves unitats. Així en fotometria es defineix el un lumen, unitat de flux lluminós simbolitzada per $\mathrm {lm}$, com el producte d'una candela i un estereoradian (${\textstyle 1\,\mathrm {lm} =1\,\mathrm {cd} \cdot 1\,\mathrm {sr} }$). La il·luminació al SI té per unitat el lux, símbol $\mathrm {lx}$, que equival a un lumen per metre quadrat i, per tant, es relaciona amb l'estereoradian com ${\textstyle 1\,\mathrm {lx} =1\,\mathrm {lm} \cdot 1\,\mathrm {m} ^{-2}=1\,\mathrm {cd} \cdot 1\,\mathrm {sr} \cdot 1\,\mathrm {m} ^{-2}}$. La luminància és una magnitud fotomètrica de gran importància, ja que és la que detecta l'ull humà quan observa una superfície que emet llum. És la magnitud fotomètrica corresponent al flux lluminós emès per una superfície, en direcció normal, per unitat de superfície i per unitat d'angle sòlid. La unitat de mesura de la luminància en el SI és un lumen per un metre quadrat estereoradian ($\mathrm {1\,lm\cdot 1\,m^{-2}\cdot 1\,sr^{-1}}$) o una candela per metre quadrat ($\mathrm {1\,cd\cdot 1\,m^{-2}}$). La intensitat energètica es mesura en watt per estereoradian ($\mathrm {W\cdot sr^{-1}}$) i la luminància energètica en watt per metre quadrat estereoradian ($\mathrm {W\cdot m^{-2}\cdot sr^{-1}}$).

Definició

L'estereoradiant es defineix fent referència a una esfera de radi $r\,$. Si l'àrea d'una porció d'aquesta esfera és $r^{2}\,$, un estereoradiant és l'angle sòlid comprès entre aquesta porció i el centre de l'esfera.

Explicació de la definició

Definició d'angle sòlid $\Omega$ com la superfície $S\,$de la projecció de la superfície blava sobre una esfera de radi $r\,$ dividida per $r^{2}\,$.

Per explicar l'angle sòlid $\Omega$ s'ha d'agafar un punt de referència $O$ situat a una distància $r\,$ d'una superfície $S\,$ no necessàriament plana. Ara, hom ha de formar un con amb vèrtex a $O$ les generatrius del qual passin pel contorn de $S\,$. A continuació hom ha de dibuixar una esfera de radi u amb centre en $O$. A l'àrea de la superfície de l'esfera interceptada pel con, la projecció, se la coneix per angle sòlid i el seu valor és:

$$\Omega ={\frac {S}{r^{2}}}\,$$

Per tant, un estereoradiant és l'angle que cobreix una superfície $r^{2}\,$sobre la superfície d'una esfera a una distància $r\,$ del centre.

Definició de estereoradian en una esfera de radi $r\,$.

$$1\,{\textrm {sr}}={\frac {r^{2}}{r^{2}}}\,$$

Analogia amb el radian

En dues dimensions, l'angle en radians $\theta$, està relacionat amb la longitud d'arc, i és:

$$\theta ={\frac {s}{r}}\,$$

sent $s\,$ la longitud d'arc, i $r\,$ el radi del cercle.

Relació amb d'altres unitats

Una il·lustració d'un angle sòlid format per una piràmide rectangular, els angles del vèrtex de la qual són tots dos de 10°. L'angle sòlid resultant és d'uns 99,747 graus quadrats. La mida de la Lluna, vista des de la Terra, es mostra en groc a efectes de comparació.

El grau quadrat també és una unitat d'anglès sòlids que està en desús. L'angle sòlid vist des del centre d'una esfera, inclou una àrea determinada a la superfície d'aquesta esfera. El grau quadrat és el que correspon a una superfície d'un quadrat damunt l'esfera que té un costat d'1°.

La superfície d'una esfera de radi $r$ val $4\pi r^{2}$. Per altra banda el perímetre d'una circumferència del mateix radi val $2\pi r$ i la circumferència està dividida en $360^{\circ }$, per tant igualant queda que el radi val $r=360^{\circ }/2\pi =180^{\circ }/\pi$.

Substituint l'anterior valor a l'expressió de la superfície d'una esfera: $4\pi (180^{\circ }/\pi )^{2}=4\cdot 4\,180^{2}/\pi =129\,600/\pi =41\,252,961\,25$ graus quadrats en una esfera que equivalen a $4\pi$ estereoradians, per tant, un estereoradian és igual a $(180^{\circ }/\pi )^{2}=3\,282,806$ graus quadrats. I fent l'invers s'obté que 1 grau quadrat val $3,046\times 10^{-4}$ sr o $0,3046$ msr.

Si cada grau té $60'$, cada grau quadrat en té ${\textstyle 60\times 60=3\,600}$ minuts quadrats, per tant un estereoradian equival a $3\,282,806\times 3\,600=1,182\times 10^{7}$ minuts quadrats. Per calcular els segons de grau que té cal multiplicar novament per $3\,600$, ja que cada minut té $60$ segons, i s'obté que: $1sr=4,255\times 10^{10}$ segons quadrats.

Angles sòlids de figures regulars

Angle sòlid d'un casquet esfèric

Si l'àrea $A\,$d'un casquet esfèric d'una esfera de radi $r$ i altura $h$ es calcula mitjançant la fórmula:$$A=2\pi rh\,$$

llavors l'angle sòlid $\Omega$ val:

El con (1), d'obertura $2\theta$ amb el vèrtex al centre de l'esfera de radi $r$, i amb altura $r-h$ i el casquet esfèric (2) d'altura $h$.

$$\Omega ={\frac {A}{r^{2}}}={\frac {2\pi rh}{r^{2}}}={\frac {2\pi h}{r}}$$

A la figura es compleix que el cosinus de l'angle pla $\theta$ del con d'obertura $2\theta$ val:

$$\cos \theta ={\frac {r-h}{r}}$$

d'on es pot aïllar $h$ (altura del casquet esfèric):

$$r\cos \theta =r-h$$$$h=r-r\cos \theta =r(1-\cos \theta )$$

I substituir a l'expressió obtinguda per a l'angle sòlid:

$$\Omega ={\frac {2\pi h}{r}}={\frac {2\pi r(1-\cos \theta )}{r}}=2\pi (1-\cos \theta )$$.

Angle sòlid de la cara d'un cub des del centre

Un cub té 6 cares que cubreixen tot l'espai. Considerant que una esfera té $4\pi$ estereoradiant en total, una cara del quadrat equival a una sisena part de $4\pi$ sr, ja que les sis cares cobreixen tot l'espai que envolta el centre del cub. Per tant,l'angle sòlid d'una cara d'un cub des del centre val: ${\textstyle \Omega ={\frac {1}{6}}4\pi ={\frac {2\pi }{3}}\,sr}$.

Submúltiples

Malgrat hom pot escriure múltiples de l'estereoradian no té sentit emprar-los perquè els valors possibles estan compresos entre 0 sr i 12,57 sr. El submúltiples del Sistema Internacional d'Unitats són els de la següent taula:

Submúltiple	Nom	Símbol
10–1	deciestereoradian	dsr
10–2	centiestereoradian	csr
10–3	mil·liestereoradian	msr
10–6	microestereoradian	µsr
10–9	nanoestereoradian	nsr
10–12	picoestereoradian	psr
10–15	femtoestereoradian	fsr
10–18	attoestereoradian	asr
10–21	zeptoestereoradian	zsr
10–24	yoctoestereoradian	ysr
10–27	rontoestereoradian	rsr
10–30	quectoestereoradian	qsr

Vegeu també

• Angle sòlid
• Radiant
• Llei de Lambert

Enllaços externs

• Near-side/far-side impact crater counts - NASA Lunar Science Institute(anglès)